Home | KTL nâng cao | Một số khái niệm cơ bản trong time series

Một số khái niệm cơ bản trong time series

Các thuật ngữ như tính dừng, bước ngẫu nhiên hoặc nghiệm đơn vị là những khái niệm cơ bản được sử dụng rất phổ biến khi đề cập đến các loại dữ liệu chuỗi thời gian. Ngoài ra, các khái niệm như toán tử trễ, ma trận đa thức trễ, nghiệm đặc trưng, hay định lí Wold thường được biết đến khi xây dựng hoặc mô tả các mô hình chuỗi thời gian. Làm quen với các thuật ngữ này sẽ giúp các bạn thuận lợi khi tiếp cận các mô hình chuỗi thời gian như VAR/VECM, SVAR, ARDL… 

1. Toán tử trễ (L)

L là toán tử trễ (lag operator). Ví dụ:

\(\begin{array}{l}L{Y_t} = {Y_{t – 1}}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{{L^{ – 1}}{Y_t} = {Y_{t + 1}}}\end{array}\\L\left( {L{Y_t}} \right) = {L^2}{Y_t} = {Y_{t – 2}}\end{array}\)

hoặc tổng quát là: \({L^k}{Y_t} = {Y_{t – k}}\)

Toán tử trễ cũng có các tính chất như giao hoán (commutative), phân phối (distributive) và kết hợp (associative)

\(\begin{array}{l}\left( {{L^1} + {L^2}} \right){Y_t} = {Y_{t – 1}} + {Y_{t – 2}}\\\left( {{L^1}{L^2}} \right){Y_t} = {L^3}{Y_t} = {Y_{t – 3}}\end{array}\)

Toán tử: \(\left( {1 – L} \right){Y_t} = {Y_t} – {Y_{t – 1}}\) được gọi là sai phân bậc 1

Và quan trọng hơn

\({\left( {1 – L} \right)^{ – 1}}{Y_t} = \left( {1 + {\theta _1}L + {\theta _2}{L^2} + {\theta _3}{L^3} + …} \right){Y_t} = \left( \theta  \right)L{Y_t}\) có |θ| < 1

2. Tính dừng của chuỗi

Một quá trình được gọi là dừng ngặt (strictly stationary) nếu phân phối xác suất của nó không độc lập theo thời gian. Nói cách khác, nếu chúng ta có 1 chuỗi thời gian được quan sát giữa 2 thời điểm t và T thì các kết hợp phân phối của những quan sát này phải giống nhau như các quan sát giữa 2 thời điểm t+k và T+k.

Tuy nhiên, đây chỉ là định nghĩa lý thuyết khó có thể áp dụng để kiểm tra tính dừng trong thực nghiệm. Trong thực nghiệm thời tính dừng của chuỗi được xét ở quan điểm nhẹ hơn, có thể dễ dàng thực hiện và kiểm tra, đó là khái niệm dừng hiệp phương sai (covariance stationary). Một chuỗi xt được gọi là covariance stationary phải thỏa mãn các điều kiện sau:

  • Có một giá trị trung bình xác định, \(E\left( {{x_t}} \right) = \mu < \infty \), nghĩa là giá trị kì vọng phải độc lập theo thời gian, không có xu hướng.
  • Có một giá trị phương sai xác định, \(Var\left( {{x_t}} \right) = \sigma _x^2 < \infty \)
  • Các giá trị hiệp phương sai chỉ phụ thuộc vào các quan sát khác nhau, k và độc lập theo thời gian: \(Cov\left( {{x_t},{x_{t – s}}} \right) = Cov\left( {{x_{t + k}},{x_{t – s + k}}} \right)\)

Khi đề cập đến tính dừng của chuỗi, Vietlod chỉ đề cập đến khái niệm dừng hiệp phương sai