Dạng hàm toàn phương
– Dạng hàm: \(Y = {\beta _1} + {\beta _2}X + {\beta _3}{X^2}\)
– Đồ thị:
– Tác động biên: \(m = {\beta _2} + 2{\beta _3}X\)
– Độ co dãn: \(\varepsilon = ({\beta _2} + 2{\beta _3}\bar X)\frac{{\bar X}}{{\bar Y}}\)
Nếu \({\beta _2}\) < 0 và \({\beta _3}\) > 0, thì đường cong có dạng hình chữ U. Nếu \({\beta _2}\) > 0 và \({\beta _3}\) < 0, thì đường cong có dạng đồi dốc. Khi tính toán kết quả của tác động biên và độ co dãn, X và Y được tính ở mức giá trị trung bình của mẫu.
Kết quả sai số chuẩn của tác động biên và độ co dãn chính là căn bậc hai của phương sai được xác định bởi:
\(Var(\hat m) = Var({{\hat \beta }_2}) + {(2X)^2}Var({{\hat \beta }_3}) + 2(2X)Cov({{\hat \beta }_2},{{\hat \beta }_3})\)
Để ước lượng dạng hàm này, đầu tiên phải tạo một biến mới \({X^2}\). Sau đó hồi quy Y theo X và \({X^2}\).
6.Dạng hàm có tham số thay đổi
Có rất nhiều trường hợp khi mà một hay nhiều tham số của mô hình thống kê không phải là hằng số. Hơn nữa, giá trị của tham số còn phụ thuộc vào một hay nhiều biến khác. Chẳng hạn, giả sử chúng ta có mô hình sau: \(Y = \alpha + \beta X\)
Chúng ta tin rằng tham số độ dốc là không phải là hằng số, hơn nữa, nó phụ thuộc vào một số biến khác, Z. Giả định rằng tham số độ dốc là một hàm tuyến tính của Z, ví dụ như sau: \(\beta = {\beta _1} + {\beta _2}Z\)
Thay vào ta có: \(Y = \alpha + ({\beta _1} + {\beta _2}Z)X\)
Hoặc tương đương là, \(Y = \alpha + {\beta _1}X + {\beta _2}ZX\)
Biến mới Z*X được gọi là thành phần tương tác. Điều này bởi vì nó ghi nhận sự tương tác giữa biến Z và X. Để ước lượng mô hình này, chúng ta cần tạo một biến mới A = Z*X. Sau đó, hồi quy OLS của Y theo X và biến mới A=Z*X này.
Đây được gọi là mô hình tham số thay đổi. Tuy nhiên, nó được coi là một trường hợp cụ thể của dạng hàm.
7.Dạng hàm có độ trễ
Có rất nhiều trường hợp mà giá trị của biến phụ thuộc ở thời kì này phụ thuộc vào giá trị của một biến giải thích ở thời kì này và các thời kì trước đó. Chẳng hạn, giả sử Y là chi tiêu tiêu dùng, X là thu nhập. Chi tiêu tiêu dùng trong năm 1995 phụ thuộc vào mức thu nhập năm 1995 và thu nhập năm 1994…Mô hình dạng này có thể được biểu diễn dưới dạng:
\({Y_t} = {\beta _1} + {\beta _2}{X_t} + {\beta _3}{X_{t – 1}}\)
Biến Xt-1 được gọi là một biến trễ. Trong ví dụ này, đó là biến trễ 1 giai đoạn. Nếu muốn, chúng ta có thể có biến trễ 2 giai đoạn (chẳng hạn, chi tiêu tiêu dùng năm 1995 phụ thuộc vào thu nhập trong năm 1993); hoặc 3 giai đoạn và nhiều hơn nữa. Lưu ý rằng, nếu chúng ta có một biến trễ một giai đoạn thì chúng ta sẽ làm mất 1 quan sát. Chẳng hạn, nếu chúng ta có dữ liệu về chi tiêu tiêu dùng hàng năm và thu nhập hàng năm trong giai đoạn từ năm 1980 đến năm 1996, chúng ta có 17 quan sát. Tuy nhiên, với mô hình có biến trễ 1 giai đoạn thì chúng ta sẽ làm mất quan sát năm 1980, và số quan sát còn lại là 16. Chúng ta có thể sử dụng biến trễ của biến phụ thuộc như là một biến giải thích của mô hình, chẳng hạn:
\({Y_t} = {\beta _1} + {\beta _2}{X_t} + {\beta _3}{X_{t – 1}} + {\beta _4}{Y_{t – 1}}\)
Đây có thể được xem là một dạng hàm cụ thể.
8.Dạng hàm hỗn hợp
Có thể gộp các hàm, giả sử xét mô hình sau:
\(Y = {\beta _1} + {\beta _2}\ln H + {\beta _3}\ln L + {\beta _4}A + {\beta _5}{A^2} + {\beta _6}G\)
Trong đó, Y là số bệnh nhân, H là số giờ làm việc, L là số lao động, A là tuổi, G là giới tính của người lao động. Trong trường hợp này, số bệnh nhân là hàm semi-log của số lao động và giờ làm việc, dạng toàn phương theo tuổi và dạng tuyến tính theo giới tính. Tác động biên và độ co dãn theo những biến này được xác định bởi công thức trên.