Home | KTL nâng cao | Giới thiệu phương pháp GMM

Giới thiệu phương pháp GMM

Trong các mô hình dữ liệu bảng động tuyến tính, khi T nhỏ thì các phương pháp ước lượng tác động cố định FE hoặc phương pháp sai phân bậc 1 là không phù hợp (Nickell, 1981). Trong trường hợp này, phương pháp GMM với các ước lượng MM, D-GMM, S-GMM được xem là các lựa chọn thay thế phù hợp.

Bài viết sẽ trình bày các khái niệm cơ bản về các thành phần của phương pháp GMM (moment là gì? moment condition là gì?) và phương pháp GMM cũng như các ứng dụng (ưu/nhược điểm) của phương pháp.

I. Moment là gì? Moment conditions là gì?

Các nhà thống kê học thường gọi các giá trị kì vọng của các biến hoặc hiệp biến là các moments. Vậy moment là gì? Làm thế nào để ước lượng các moments?

  • Moment là biểu thức liên hệ của các tham số (function of parameters) trong dữ liệu thực nghiệm (functions of data). Hay có thể hiểu đơn giản mỗi moment là 1 hàm của dữ liệu thực nghiệm với các ẩn số là tham số cần ước lượng.
  • Biểu thức liên hệ này thông thường được gọi là điều kiện moment (moment condition)
  • Theorical moments (function of parameters) = Empirical moments (functions of data)
  • 4 loại moment thông dụng cho biết thông tin về tổng thể đó là giá trị trung bình (mean), phương sai (variance), độ trôi (skewness) và độ nhọn (kurtosis).
  • Quá trình tìm lời giải cho các tham số trong các điều kiện moment được gọi là phương pháp ước lượng moment (Method of moments – MM).

Ví dụ:

Một phân phối của tổng thể có giá trị trung bình \(\mu \) chưa biết, có phương sai bằng 1. Khi đó, điều kiện moment tổng thể (population moment conditions) là: \(E({x_i}) = \mu \). Nếu các xi {i = 1,2,…,n} của mẫu có phân phối đồng nhất, xác định (i.id) thì giá trị trung bình của mẫu được xác định: \(\bar x = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \) sẽ tương đồng với giá trị trung bình của tổng thể \(E({x_i})\).

Khi đó: ước lượng MM cho \(E({x_i}) = \mu \) được xác định theo trung bình của mẫu là \(\bar x = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} = {{\hat \mu }_n}\)

Trường hợp tổng quát hơn của ước lượng MM, giả sử chúng ta có mẫu quan sát xi {i = 1,2,…,n} có phân phối i.id, từ đó, chúng ta muốn ước lượng vector tham số \(\theta \in {R^p}\) với giá trị thật là \({\theta _0}\).

Gọi \(f({x_i},\theta )\) là một hàm liên tục và có sai phân bậc q và \(E\left[ {f({x_i},\theta )} \right]\) xác định với mọi i và \(\theta \) thì:

  • Điều kiện moment tổng thể là \(E\left[ {f({x_i},{\theta _0})} \right] = 0\) sẽ được đại diện tương ứng với
  • Điều kiện moment của mẫu là \({f_n}(\theta ) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {f({x_i},} \theta )\).
  • Khi đó ước lượng MM của \({\theta _0}\) dựa trên moment tổng thể \(E\left[ {f({x_i},\theta )} \right]\) là nghiệm của phương trình \({f_n}(\theta ) = 0\).

Ghi chú: hàm f trong ví dụ ước lượng giá trị trung bình chính là \(f({x_i},\mu ) = {x_i}\)