Tác động tương tác giữa 2 biến liên tục

Chúng ta thường gặp trường hợp tương tác giữa một biến nhị phân với một biến liên tục. Trong trường hợp này, hệ số của biến tương tác sẽ cho biết sự chênh lệch về tác động trung bình của biến liên tục ở hai nhóm. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp vẫn có sự tương tác giữa 2 biến liên tục, chẳng hạn như sự tương tác giữa tuổi tác và cân nặng đến tình trạng sức khỏe. Trong trường hợp này, hệ số tương tác giữa 2 biến liên tục sẽ được giải thích như thế nào? Bài viết sau sẽ minh họa và giải thích sự tương tác giữa 2 biến liên tục trong hồi quy OLS (Interaction effects between continuous variables).

Xét mối quan hệ giữa tuổi tác (age) và cân nặng (weight) đến sức khỏe (health). Giả sử, chúng ta muốn biết ảnh hưởng của chỉ số cân nặng như thế nào đến sức khỏe ứng với các nhóm tuổi. Mô hình khi đó được viết lại như sau:

health = \(\alpha \) + \({\beta _1}\)age + \({\beta _2}\)weight + \({\beta _3}\)(age*weight) + \(\varepsilon \)

\(\begin{array}{l}health = \alpha + {\beta _1}age + {\beta _2}weight + {\beta _3}\left( {age*weight} \right) + \varepsilon \\\begin{array}{ccccccccccccccc}{}&{}& = \end{array}\alpha + {\beta _1}age + \left( {{\beta _2} + {\beta _3}age} \right)weight + \varepsilon \\\begin{array}{ccccccccccccccc}{}&{}& = \end{array}\alpha + \left( {{\beta _1} + {\beta _3}weight} \right)age + {\beta _2}weight + \varepsilon \end{array}\)

Một giá trị hệ số âm của biến tương tác (\({\beta _3}\) < 0) cho thấy tuổi tác càng cao thì ảnh hưởng của cân nặng lên sức khỏe càng tiêu cực.

Tác động của age lên health hay tác động của weight lên health lần lượt tùy thuộc giá trị của weight và age. Điều này được giải thích qua hệ số mức tác động riêng phần của các biến như sau:

• Hệ số \({\beta _1} + {\beta _3}\)weight chính là phần thay đổi trung bình của health khi age tăng thêm 1 tuổi.
• Hệ số \({\beta _2} + {\beta _3}\)age chính là phần thay đổi trung bình của health khi weight tăng thêm 1kg.